Jika \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \), maka determinan dari \( A^T A + BB^T \) adalah…
- -5
- -4
- 0
- 4
- 5
(UM UGM 2019)
Pembahasan:
Kita tentukan matriks dari \( A^T A + BB^T \) terlebih dahulu, yakni:
\begin{aligned} A^T A + BB^T &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^T \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, determinan dari matriks \( A^T A + BB^T \), yaitu:
\begin{aligned} |A^T A + BB^T| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\[8pt] &= 3 \cdot 10 - 5 \cdot 5 \\[8pt] &= 5 \end{aligned}
Jawaban E.